유한요소법(FEM)의 개념과 이해

유한요소법(FEM)은 자연에서 발생하는 여러 종류의 현상을 근사적으로 해석하는 방법임.

임의의 모양이 있고 그 영역의 면적을 구하는 문제에는 이론해가 존재하지 않음.

하지만 이 영역을 여러 개의 삼각형으로 분할하면 삼각형 하나의 면적은 간단하게 계산할 수 있고 영역의 전체 면적은 삼각형 면적의 총합으로 근사적으로 이론해를 구할 수 있음.

이미지 출처 (주)마이다스아이티

이론해를 직접 구하기 어려운 복잡한 모델을 조작 가능한 유한 개의 요소로 분할하여 개별 요소의 특성을 계산한 다음 전체 요소의 특성을 모두 조합하여 모델의 특성을 근사적으로 계산하는 방법이 유한요소법임.

1. 유한요소법 개념

(1) 장문제 (Field Problem)

장문제는 구하고자 하는 미지수가 f(x,y,z)처럼 위치 좌표의 함수로 정의되는 문제임.

온도해석에서는 각각의 위치에서의 온도분포(T(x,y,z))를 계산하고 응력해석에서는 각각의 위치에서의 변위(μ(x,y,z))와 응력(σ(x,y,z)) 등을 계산하게 됨.

이러한 장문제는 일반적으로 편미분방정식으로 표현되며 간단한 모델과 경계 조건에 대해서는 이론해를 구할 수 있지만 복잡한 모델 조건에 대해서는 이론해를 구하기가 어려움.

(2) 방정식

유한요소법은 장문제의 해를 계산하는 수치적인 근사법으로 편미분방정식을 선형대수방정식으로 변환하여 해석함.

이론해는 모든 위치(무한 개)에서 해를 계산할 수 있지만 유한요소법에서는 특정 관심 위치(유한 개)에서 해를 근사적으로 계산하여야 함.

(3) 요소와 절점 그리고 자유도

유한요소법에서 결과가 계산되는 위치를 절점(Node)이라 하고 일반적으로 요소의 꼭지점을 의미함.

절점은 요소의 모양과 위치를 정의하고 결과가 계산되는 위치이며 절점의 미지수를 자유도라고 함.

즉, 자유도는 장의 공간 분포를 정의하는 변수가 되어 온도해석에서는 온도를, 응력해석에서는 변위를 나타냄.

(4) 유한요소법 장점

이외에도 여러가지 수치적인 근사해법이 있지만 다음과 같은 장점 때문에 실무에서는 유한요소법이 가장 많이 활용되고 있음.

– 응력해석, 온도해석, 유동해석, 전자기장해석과 같은 모든 장문제에 적용 가능.

– 다양한 모양의 요소를 제공하므로 해석 대상의 기하학적인 모양에 제약이 없음.

– 자동 요소망(Mesh) 생성 기능을 이용하여 간편하게 해석을 위한 요소망을 작성할 수 있음.

– 하중, 경계조건 사용에 제약이 없음.

– 다양한 재료를 사용할 수 있으며 해석에서 요구되는 재료의 물성치를 구하는 것이 용이함.

– 다양한 거동 특성을 표현하는 요소를 제공하고 이들의 혼용이 가능하므로 모델의 각 부분마다 다른 거동과 재료를 정의하는 것이 가능.

– 해석결과의 정확도를 향상시키는 방법이 직관적임.

– 수치적인 근사해법에는 오차가 존재함.

– 단위 요소의 특성을 계산한 다음 전체 요소의 특성을 조합하는 식으로 이론해를 구하므로 반복 연산이 가능하여 컴퓨터에 의한 자동화가 용이함.

2. 선형대수방정식과 유한요소법

유한요소법은 여러 물리적 현상을 지배하는 편미분방정식과 경계조건으로 표현되며 편미분방정식을 선형대수방정식으로 변환하여 해석함.

ζ(φ) ＋ f ＝ 0 ← 편미분방정식

[K]{Δ} ＝ {F} ← 선형대수방정식

선형대수방정식은 해석 영역의 성질과 해석 영역에 부여되는 작용 그리고 그 결과 해석 영역에 발생하는 거동 사이의 관계를 나타내는 방적식임.

[K]{Δ} ＝ {F}

여기서 [K] ＝ 성질, {Δ} ＝ 거동, {F} ＝ 작용

선형대수방정식의 변수는 해석 영역에서의 작용과 거동이며 이들 변수는 절점에서의 값들로 한정되는데 절점은 해석 영역의 인위적으로 설정된 점들을 말함.

이미지 출처 서울 벤처정보 대학원 대학교

해석 영역 전체방정식을 한번에 완성할 수는 없으므로 해석 영역을 여러 개로 단순화하고 작게 분할하여 인접한 요소들이 서로 만나는 점에서 절점을 공유토록 함.

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요소의 지배방정식은 전체 영역의 지배방정식과 동일하며 한 요소에 대하여 단순화된 근사화를 통한 지배방정식을 선형대수방정식으로 쉽게 대체할 수 있음.

이때의 선형대수방정식을 요소방정식이라고 함.

모든 요소에 대하여 지배방정식을 구하고 요소를 구성하고 있는 절점에 따라서 요소방정식을 결합하면 비로소 전체방정식인 [K]{Δ} ＝ {F}가 완성됨.

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전체방정식이 완성되면 이를 풀어서 미지의 변수를 구하고 부차적인 계산을 실행하여 필요한 결과를 얻을 수 있는데 이것이 유한요소법임.

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3. 요소

올바른 요소의 선택과 사용을 통하여 유한요소법을 올바르게 활용하여야 하는데 이를 위해서는 각각의 요소들의 거동 특성과 하위절점의 자유도를 정확히 이해하여야 함.

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위의 표는 하위절점이 정의하는 기하학적 차원에 따라 요소를 분류한 것임.

추가 요구사항은 요소의 역학적 거동은 고려하지 않고 순수하게 기하학적 측면에서 요구되는 추가적인 입력사항으로서 실제 모델은 모두 3차원이며 부피를 갖고 있음.

모델의 부피를 계산하기 위하여 절점이 정의하는 기하 특성인 길이, 면적, 부피에 추가적으로 요구되는 항목이 모델의 단면 형상 정보와 재료 정보임.

(1) 종류

1) 솔리드 요소

솔리드 요소는 부피가 있는 구조물의 모델링에 주로 이용되며 특히 CAD 모델과 자동 요소망 생성 기능을 사용하면 간편하게 해석을 위한 모델을 작성할 수 있으므로 실무에서 가장 많이 사용됨.

2) 쉘 요소

쉘 요소는 두께가 얇은 박판 구조물이 굽힘변형을 받을 때 주로 사용되며 2차원 응력상태, 굽힘 및 전단변형 등을 고려할 수 있음.

3) 보 요소

두 개의 양 끝 절점으로 정의되는 1차원 선 요소이며 단면의 치수에 비하여 길이가 긴 부재가 굽힘변형을 받을 때 주로 사용함.

길이에 대한 단면의 폭 또는 높이비가 대략 1/5보다 커지면 전단변형에 의한 영향이 매우 커지게 되므로 보 요소 대신에 쉘 요소나 솔리드 요소를 사용하는 것이 바람직함.

(2) 요소망 작성 시 참고사항

솔리드 요소는 저차 육면체 요소 또는 고차 사면체 요소를 사용하고 쉘 요소는 저차 사각형 요소를 사용할 것.

요소는 크기가 작고 모양이 정다면체나 정다각형에 가까운 형상일 것.

해석 결과의 정확도와 해석의 경제성을 모두 고려하여 요소망의 조밀도를 선택할 것.

줄이며…

유한요소법(FEM)은 모델를 가상적으로 유한한 크기의 요소로 분할하고 이러한 요소들의 집합체를 가지고 이론해를 구함.

이러한 수치적 기법을 적용한 유한요소법을 활용하여 해석에 이용하는 것이 유한요소해석이며 가상 제품 혹은 부품에 작용하는 다양한 힘을 설계를 완료하기 이전에 미리 시뮬레이션 할 수 있음.

그렇다고 유한요소법이 언제나 정확한 답을 주는 것은 아님.

오히려 오답을 제시하는 경우가 더 많아서 유한요소법을 이용하여 답을 얻은 후에는 항상 검증이 뒤따라야 함.